L'approche groupoïdale au calcul de Boutet de Monvel et applications

Mots clés

opérateurs pseudo-différentiels, groupoïdes de Lie, géométrie non commutative, opérateurs sous-elliptiques, problèmes aux limites

Détail de l'offre

Le but principal du projet de recherche est de donner une caractérisation des opérateurs pseudo-différentiels du calcul de Boutet de Monvel par les groupoïdes de Lie.

Le calcul de Boutet de Monvel est une algèbre d'opérateurs adaptée à l'étude des problèmes aux limites. Plus précisément, étant donné une variété à bord M, il fournit une algèbre d'opérateurs à noyaux qui contient simultanément les opérateurs pseudo-différentiels sur M et sur son bord, les opérateurs de type Poisson et de type trace entre le bord et l'intérieur, et les opérateurs singuliers de Green.

Au cours des dix derniers années, une nouvelle approche aux opérateurs pseudo-différ-entiels a été développée, en commençant avec un article fondateur de Debord-Skandalis. Cette approche utilise la structure du groupoïde tangent de Connes et ses généralisations, pour donner une caractérisation algébro-géométrique simple des noyaux pseudo-différentiels poly-homogènes adaptés à des nombreuses classes d'EDP, y compris des exemples qui n'admettaient pas de calcul pseudo-différentiel auparavant.

Dans ce projet, le candidat cherchera une caractérisation analogue pour les opérateurs de Boutet de Monvel. Les avantages d'une telle caractérisation seront nombreuses. Dans un premier temps, on pourra simplifier la technicité analytique de la théorie de Boutet de Monvel. Encore plus important, si une telle définition est possible, on pourra certainement définir des généralisations du calcul de Boutet de Monvel aux situations où la variété, ou son bord, sont munis d'une géométrie sous-riemannienne ou d'une structure de variété filtrée.

Il existe plusieurs exemples importants provenant de la théorie des représentations et de la géométrie équivariante où de tels opérateurs se présentent. Par exemple, le noyau de Poisson classique, qui prolonge une fonction sur le bord du disque unité en une fonction harmonique sur son intérieur est un exemple d'un opérateur de Fredholm qui entrelace une représentation de la série principale de SO(2,1) et une représentation de la série discrète. Les généralisations de cette construction pour les groupes SU(n,1) et Sp(n,1) utilisent des noyaux de Poisson entre la sphère à l'infini de l'espace hyperbolique complexe ou quaternionique et son intérieur. Pour l'instant, une théorie de type Boutet de Monvel pour de tels opérateurs n'existe pas. Une définition simplifierait énormément l'étude de tels opérateurs, qui sont essentiels pour la preuve de la conjecture de Baum-Connes pour les groupes réels réductifs de rang un.

On peut trouver de l'inspiration pour cette approche dans la littérature existante. L'article de Debord-Skandalis, donne une construction groupoïdale d'une algèbre d'opérateurs qui est similaire, mais pas identique, au calcul de Boutet de Monvel. Clarifier la différence entre cette construction et le vrai calcul de Boutet de Monvel est l'une des motivations pour ce projet. Dans une autre direction, Schrohe a pu caracteriser les opérateurs singulier de Green dans le calcul par l'intermédiaire des ``wedge Sobolev spaces''. Cette caractérisation ressemble beaucoup à la caractérisation des opérateurs pseudo-différentiels classiques par Beals, qui est liée à l'approche groupoïdale aux opérateurs pseudo-différentiels classiques.